聪明的麦克斯韦发现安培环路定律有一点小缺陷。

想象一根导线连接到平行板电容器并给它充电，选取一个闭合环路 \partial S 环绕导线，取两个不同的曲面 S_1 与 S_2 都以 \partial S 为边界：

  • S_1 穿过导线，穿过导线处的电流为 I ，按照安培环路定律的积分形式可以得到 \oint \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l = \mu_0I ；

  • S_2 伸进两块电容板之间，不穿导线，因此电流为 0 ，按照安培定律得到 \oint \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l = 0 。

发现矛盾了！因为同一个环路得到的结果不应该和我们选取的曲面有关。另外，原始的安培定律也不适用于时变电荷/电场的情形。根据电荷守恒的连续性方程：

\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbf J=0

其中 \rho(\mathbf r,t) 是电荷密度， \mathbf J(\mathbf r, t) 是之前的电流密度。 \nabla\cdot\mathbf J>0 表示电流流出多于流入，电荷密度减小； \nabla\cdot\mathbf J<0 表示电流流入多于流出，电荷密度增大。该方程保证了电荷不会凭空产生或消失，只会流动来改变其分布。

安培公式也需要满足这条公式作为前提。当电荷变化时， \nabla\cdot\mathbf J\ne0 往往会成立，但安培定律要求 \nabla\cdot\mathbf J=0 ，所以会有无法满足的情况。

麦克斯韦-安培定律推导

假设我们把安培定律修正为在右边加一个未知的项 \mathbf X(\mathbf r,t) ：

\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf {(J+X)}

两边取散度：

0=\mu_0 (\nabla\cdot\mathbf J+\nabla\cdot\mathbf X)

为了满足连续性方程，我们要求

\begin{align} \nabla\cdot\mathbf X=-\nabla\cdot\mathbf J=\frac{\partial \rho}{\partial t} \end{align}

说明 \mathbf X 应该满足其散度为 \partial\rho/\partial t 。

再根据之前讲过的电场高斯定律（这里用了它的微分形式，稍微有点超纲，不过之后会再次推导）：

\nabla \cdot \mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}

对时间求导得：

\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) =\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\partial\rho}{\partial t}

整理：

\frac{\partial\rho}{\partial t} =\varepsilon_0\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}

回代等式 (1) ，得到：

\nabla\cdot\mathbf X =\varepsilon_0\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}

自然选择

\mathbf X =\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}

当然，数学上来说，这里还可以加上一切散度为 0 的向量场。但是上式在物理意义上来看显然最自然，同时也最符合实验结果。

最后，回代修正后的安培定律，得到麦克斯韦-安培定律，也就是麦克斯韦方程组的最后一条方程！

\Large\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t }