在这之前，我们讨论了库仑定律与法拉第电磁感应定律，推导了麦克斯韦方程组的前三个方程。今天让我们着眼于安培定律，推导出麦克斯韦方程组的最后一个方程，完善积分形式的麦克斯韦方程组！
F=BILsinθ
F=BIL\sin \theta
这条公式告诉我们一条直的通电导线在磁场内受力的大小，而方向则由伟大的右手定则给出。
而有一个强大的二元运算符，不仅包含 \sin ，还包含右手定则，是哪个符号好难猜啊（
于是，把导线分成非常小的一段 \mathrm d\mathbf l ，每段导线受到的力就是
\mathrm d\mathbf F = I\mathrm d\mathbf l \times B
其中，叉乘 \times 相当于之前的 \sin\theta ，并且让结果变成了个向量，向量 \mathbf F 指向的方向就是右手告诉你的方向。至于为什么不是 B \times I\mathrm d\mathbf l ，虽然主播也不知道为什么，但现实已经告诉了我们答案。
Biot-Savart 定律
和我们学过的万有引力公式、库仑定律类似，比起严谨的数学推导，这条公式更接近经验总结。在大量的实验后，这条公式准确地给出了衡稳电流 I 在微小线元 \mathrm d\mathbf l 在空间点 \mathbf r 处产生的磁场为：
\mathrm d\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}
\frac{I\mathrm d\mathbf l\times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}
其中， \mathbf r 就是我们想求磁场的那个场点， \mathbf r' 指的是电流元所在的位置，于是 \\\mathbf r - \mathbf r'\ne\mathbf 0 就是一条从电流元指向场点的矢量，描述了场点相对于电流元的位置。 \mathrm d\mathbf l 是一个矢量，大小为导线段的长度，方向为电流方向。 \times 给出了磁场的方向（垂直于两者构成的平面，遵循右手定则）。 \mu_0=4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2} 是真空磁导率，描述了真空对磁场的“响应能力”；与 1/4\pi 搭配使用，用于保证量纲正确。
看到这个定律后，相信大家都已经蠢蠢欲动了，于是直接积分来获得 \mathbf B(\mathbf r) ！
\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}
\int
\frac{I\mathrm d\mathbf l\times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}
我们还有如下定义：
\mathbf J(\mathbf r') = \mathbf \rho (\mathbf r')\mathbf v(\mathbf r')
这是电流密度的定义，表示单位体积的电荷流动速率。而原来的 I 就是 J 在截面积上的积分：
I = \int_S \mathbf J\cdot \mathrm d\mathbf S
因此原式可以写为：
\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}
\int
\frac{\mathbf J(\mathbf r') \times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}\mathrm d^3 r'
安培环路公式推导
Biot-Savart 定律起手
\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}
\int
\frac{\mathbf J(\mathbf r') \times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}\mathrm d^3 r'
对于其中的 \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3} ，有：
\nabla_\mathbf r\left( \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \right)
= -\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}
因为，令 R = |\mathbf r-\mathbf r'| ，有：
\begin{align}
\nabla_\mathbf r \left(\frac{1}{R}\right) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\left(R^{-1}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial x_i}
= -R^{-2}\cdot\frac{\partial }{\partial x} \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \notag\\
&= -R^{-2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R}\cdot R_i \notag\\
&= -\frac{R_i}{R^3}
= -\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3} \notag
\end{align}
代入，有：
\begin{align}
\mathbf B(\mathbf r) &= -\frac{\mu_0}{4\pi}
\int\mathbf J(\mathbf r') \times \nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|}\right)\mathrm d^3 r' \notag\\
&= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\times\mathbf J(\mathbf r')\mathrm d^3r' \notag \\
&= \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\times\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'\notag
\end{align}
等式两边分别取旋度：
\nabla_\mathbf r\times\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\times\nabla_\mathbf r\times\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'
根据向量微分恒等式 \nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A ，有：
\nabla_\mathbf r\times\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\mathbf J(\mathbf r')\cdot\nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3 r'-
\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\nabla_\mathbf r^2\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3 r'
又 \nabla_\mathbf r\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right)=-\nabla_{\mathbf r'}\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right) 和 \nabla_\mathbf r^2\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right)=-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r') ，
\begin{align}
\nabla_\mathbf r\times\mathbf B&=-\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\mathbf J(\mathbf r')\times\nabla_{\mathbf r'}\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3r'+\mu_0\mathbf J(\mathbf r) \notag \\
&= \mu_0\mathbf J+\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\frac{\nabla_{\mathbf r'}\cdot\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'\notag
\end{align}
因为在安培的假设下， \nabla\cdot\mathbf J= 0 ，所以后面那一项复杂的积分式子直接等于 0 ，原式最终化简为安培环路定律：
\Large\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J
