我们已经得到了麦克斯韦方程组的四个零散方程。接下来让我们把它们整合到一起，变成统一的形式！但在这之前，请容我介绍两条整理方程组的必备前置技能。

散度定理（高斯公式）

\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\mathrm dv=\oiint_S\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf s

这里的 \iiint 和 \oiint 看上去很吓人，实际上就是体积积分和闭合曲面积分的严谨符号。所以思考一下：这个公式有没有很熟悉？没错！这和我们之前讲到的电场高斯定律有异曲同工之妙。虽然在这个公式里，“电荷”不再被包裹，但不难理解，等式右侧代表流入闭合曲面与流出闭合曲面的向量的总和！但需要注意，和磁场线不一样的是，被闭合曲面包住的区域有可能包含向量场的源或汇，所以等式右侧的值一般不等于 。

来到等式左边的三重积分。这里的 \nabla\cdot\mathbf F 就是指向量场在这块小体积 \mathrm dv 处的散度，也就是指这块小体积到底是向量场的源、汇还是都不是。用三重积分把所有的小体积的散度加起来，也就得到了“向量场在这块大体积 V 中的被吸收与输出的总和到底是多少”。转化一下，这个值不就是等式右侧向量进入闭合曲面和离开闭合曲面的总和吗！这就是高斯公式的直观解释。

旋度定理（斯托克斯公式）

\iint_S\nabla\times\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf S=\oint_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r

这里的 \oint 就是环路积分的意思，也就是闭合曲线积分。先说等号右侧：代表着沿着一条闭合曲线积一圈，也代表着向量场 \mathbf F 沿着 C 旋转的程度。而等式左边则把闭合曲线内部的面积划分成了很多小块，并把每个小块的旋度加了起来。这么做能相等的合理之处在于：整个面积内部的旋度都可以互相抵消，只有靠近边缘的一部分无法被抵消掉，这也就是那条闭合曲线 C 的“旋转程度”。

化简方程组

通过这两个重要公式，我们可以来化简麦克斯韦方程组了！

电场高斯定律

\oint_A\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A=\frac{q}{\varepsilon_0}

等号左侧应用高斯公式，右侧改写电荷为电荷密度：

\iiint_V\nabla\cdot\mathbf E\mathrm dV=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\mathrm dV

左右约掉相同部分，也就是积分号和微分算子，搞定！

\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\tag1

磁场高斯定律

\oint_A\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A= 0

高斯公式升维秒了：

\nabla\cdot\mathbf B= 0\tag2

法拉第电磁感应定律

这里为了严谨美观偷偷把右边改成了二重积分，含义没变

\oint_C \mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l = -{{ \mathrm d } \over {\mathrm d {t} }} \iint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A

左侧斯托克斯公式升维：

\iint_S\nabla\times\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A= -{{ \mathrm d } \over {\mathrm d {t} }} \iint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A

约掉积分号和 \mathrm d\mathbf A ，完成！

\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\tag3

麦克斯韦-安培定律

好像咱已经整出来了：

\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t }\tag4

那就给读者留个练习吧！Show that:

\oint_C \mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l = \mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A

努力的成果

麦克斯韦方程组：

\Large\begin{array}{l} \nabla \cdot \mathbf{E} =\cfrac{\rho}{\varepsilon _0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \end{array}