相信大家都对光速不变有过质疑——因为它真的太反常了。然而随着不断的实验证实：光速不变，这条看似不可能的结论，似乎就是世界的铁律！今天就让我们一起来通过麦克斯韦方程组推导这一震惊全物理界的结论！

写出微分形式的麦克斯韦方程组（我们在之前的合集里推导过）：

\begin{array}{l} \nabla \cdot \mathbf{E} =\cfrac{\rho}{\varepsilon _0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \end{array}

假设是自由空间，必有 \rho=0 与 \mathbf J = \mathbf 0 ，于是简化方程组为：

\begin{array}{l} \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \end{array}

对三号方程取旋度：

\nabla \times (\nabla \times \mathbf E) = -\nabla\times\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

根据向量微分恒等式，有：

\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E=-\nabla\times\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

代入一号方程：

\nabla^2\mathbf E=\nabla\times\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)

代入四号方程：

\nabla^2\mathbf E=\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu _0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \right)

化简：

\nabla^2\mathbf E=\mu _0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2 } \quad \Rightarrow\quad \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2 }=\frac{1}{\mu _0\varepsilon_0 }\nabla^2\mathbf E

根据标准波动方程：

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2 }=v^2\nabla^2u

得出波速为：

c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx 2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}

发现就是光速，光是一种电磁波。

同时，我们又发现光速与参考系无关，光速在任何人看来都不变！