曲线类型

参数化方法

技巧

直线段

\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0),\; t\in[0,1]

起点到终点线性插值

圆

x = x_0 + R\cos\theta, \; y = y_0 + R\sin\theta, \; \theta\in[\theta_1, \theta_2]

通常 \theta_1 < \theta_2，逆时针

椭圆

x = x_0 + a\cos\theta, \; y = y_0 + b\sin\theta, \; \theta\in[0,2\pi]

容易有天才把 \sin 和 \cos 弄反： \mathrm ds = \sqrt{(a\sin\theta)^2 +(b\cos\theta)^2} \mathrm d\theta

抛物线

y = kx^2 \Rightarrow x=t, \; y = kt^2, \; t\in[x_0,x_1]

\mathrm ds = \sqrt{1 + (\mathrm dy/\mathrm dx)^2} \mathrm dx

任意平面曲线

若 y=f(x) ，可取 x=t, y=f(t), t\in[x_0,x_1]

\mathrm ds = \sqrt{1+(f'(t))^2} \mathrm dt

没那么通用（

任意空间曲线

\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]

和楼上那位坐一桌

小举例

求：

\oint_C \left( x\mathrm dy - y\mathrm dx \right)

其中 C 是以原点为圆心、半径 R 的圆，按逆时针方向绕一圈。

解：

使用 x=R\cos \theta ， y = R\sin \theta 参数化，可得

\begin{align} \mathrm dx & = -R\sin \theta \mathrm d \theta \notag\\ \mathrm dy & = R\cos\theta\mathrm d\theta \notag \end{align}

代入原式 x\mathrm dy - y\mathrm dx ：

\begin {align} x\mathrm dy - y\mathrm dx &= R\cos\theta (R\cos\theta\mathrm d\theta) - R\sin\theta\left(-R\sin\theta\mathrm d\theta\right)\notag \\ &=R^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\mathrm d\theta \notag \\ &=R^2\mathrm d\theta \end {align}

将 (1) 代入原式

\begin{align} \oint_C \left( x\mathrm dy - y\mathrm dx \right) &= \int_{0}^{2\pi} R^2\mathrm d\theta \notag \\ &=2\pi R^2 \notag \end{align}